Triangle ExPascal

Studies of Boolean functions
sequences related to Boolean functions

Pascal's triangle with multiplied columns

Triangles ExPascal_(Drop)

Pascal with columns multiplied by powers of two

🌊 triangle ExPascal (A013609) row sums Fern (A000244)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	sums
0	1 · 1 1											1
1	1 · 1 1	1 · 2 2										3
2	1 · 1 1	2 · 2 4	1 · 4 4									9
3	1 · 1 1	3 · 2 6	3 · 4 12	1 · 8 8								27
4	1 · 1 1	4 · 2 8	6 · 4 24	4 · 8 32	1 · 16 16							81
5	1 · 1 1	5 · 2 10	10 · 4 40	10 · 8 80	5 · 16 80	1 · 32 32						243
6	1 · 1 1	6 · 2 12	15 · 4 60	20 · 8 160	15 · 16 240	6 · 32 192	1 · 64 64					729
7	1 · 1 1	7 · 2 14	21 · 4 84	35 · 8 280	35 · 16 560	21 · 32 672	7 · 64 448	1 · 128 128				2187
8	1 · 1 1	8 · 2 16	28 · 4 112	56 · 8 448	70 · 16 1120	56 · 32 1792	28 · 64 1792	8 · 128 1024	1 · 256 256			6561
9	1 · 1 1	9 · 2 18	36 · 4 144	84 · 8 672	126 · 16 2016	126 · 32 4032	84 · 64 5376	36 · 128 4608	9 · 256 2304	1 · 512 512		19683
10	1 · 1 1	10 · 2 20	45 · 4 180	120 · 8 960	210 · 16 3360	252 · 32 8064	210 · 64 13440	120 · 128 15360	45 · 256 11520	10 · 512 5120	1 · 1024 1024	59049

PascalDrop with columns multiplied by powers of two

💧 triangle ExPascalDrop (~A370469) row sums FernDrop (A025192)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	sums
0	1 · 1 1											1
1	0	1 · 2 2										2
2	0	1 · 2 2	1 · 4 4									6
3	0	1 · 2 2	2 · 4 8	1 · 8 8								18
4	0	1 · 2 2	3 · 4 12	3 · 8 24	1 · 16 16							54
5	0	1 · 2 2	4 · 4 16	6 · 8 48	4 · 16 64	1 · 32 32						162
6	0	1 · 2 2	5 · 4 20	10 · 8 80	10 · 16 160	5 · 32 160	1 · 64 64					486
7	0	1 · 2 2	6 · 4 24	15 · 8 120	20 · 16 320	15 · 32 480	6 · 64 384	1 · 128 128				1458
8	0	1 · 2 2	7 · 4 28	21 · 8 168	35 · 16 560	35 · 32 1120	21 · 64 1344	7 · 128 896	1 · 256 256			4374
9	0	1 · 2 2	8 · 4 32	28 · 8 224	56 · 16 896	70 · 32 2240	56 · 64 3584	28 · 128 3584	8 · 256 2048	1 · 512 512		13122
10	0	1 · 2 2	9 · 4 36	36 · 8 288	84 · 16 1344	126 · 32 4032	126 · 64 8064	84 · 128 10752	36 · 256 9216	9 · 512 4608	1 · 1024 1024	39366

ExPascal is the triangle of unit fractions in the weight triangle of male BF.

For a signed version of ExPascal (compare SignedCedar) all row sums are 1. (The absolute values of negative entries sum up to Mimosa. The positive entries sum up to BigMimosa.)

Triangles TurnedExPascal_(Drop)

TurnedExPascal(n, k) is the number of k-dimensional faces of an n-dimensional hypercube. It is the square of Pascal, i.e. the matrix product of Pascal's triangle with itself.

🌊 triangle TurnedExPascal (A038207) row sums Fern (A000244)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	sums
0	1											1
1	2	1										3
2	4	4	1									9
3	8	12	6	1								27
4	16	32	24	8	1							81
5	32	80	80	40	10	1						243
6	64	192	240	160	60	12	1					729
7	128	448	672	560	280	84	14	1				2187
8	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1			6561
9	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1		19683
10	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1	59049

💧 triangle TurnedExPascalDrop (A200139) row sums FernDrop (A025192)
k n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	sums
0	1											1
1	1	1										2
2	2	3	1									6
3	4	8	5	1								18
4	8	20	18	7	1							54
5	16	48	56	32	9	1						162
6	32	112	160	120	50	11	1					486
7	64	256	432	400	220	72	13	1				1458
8	128	576	1120	1232	840	364	98	15	1			4374
9	256	1280	2816	3584	2912	1568	560	128	17	1		13122
10	512	2816	6912	9984	9408	6048	2688	816	162	19	1	39366

Triangles ExPascal(Drop)

Triangles TurnedExPascal(Drop)

Triangles ExPascal_(Drop)

Triangles TurnedExPascal_(Drop)